#3 Vemos que D_v f(a) se puede considerar como la derivada en el origen de una función real de variable real, y por tanto, para calcular derivadas según un vector se puede aplicar el formalismo conocido, del cálculo de derivadas para funciones de una variable real.

Sea A un abierto de R^n y f una aplicación de A en R. Se llama derivada de la aplicación f en el punto a de A según el vector v de R^n al límite, si existe, de

(f(a+hv)-f(a))/h

cuando h tiende a 0. Lo designaremos por D_v f(a).

Si consideramos la función j, definida por por la composición de g_v con f en V_0={h de R tal que (a+hr) es de A} y donde g_v es una aplicación de V_0 en A tal que g_v(h)=a+hv, tenemos que D_v f(a) es igual al límite cuando h tiende a 0 de

(f(a+hv)-f(a))/h

lo que equivale inmediatamente a j'(0).

#4 La europea no es conmutativa, no hay interés en estudiarla.

#1 Por supuesto, no es absolutamente evidente que las fórmulas (1) y (2) convierten al conjunto KxK en un anillo conmutativo, y es, por tanto, cosa que se debe demostrar. Pero solo es necesario tener un poco de ojo para notar que en el caso de K=R y d=-1 nos brinda la construcción de los complejos, hecho que manifiesta la validez de la afirmación anterior.

Sea d un elemento de un anillo conmutativo K; vamos a construir un nuevo anillo L definido de la siguiente forma: El conjunto L es el producto cartesiano KxK de manera que un elemento de L es un par (x,y) de elementos K; y las operaciones fundamentales de L vienen definidas por las fórmulas

(1) (x',y')+(x",y")=(x'+x",y'+y")
(2) (x',y')(x",y")=(x'x"+dy'y",x'y"+x"y')

las cuales hacen intervenir a la vez al elemento dado d y las leyes de composición del anillo K.

#3Vamos ahora a construir las clases de equivalencia correspondientes F_x. Para x de G, el conjunto F_x, por definición, está formado por los y de G tales que la relación R{x,y} sea verdadera, o dicho de otra forma, por las y tales que (x^-1y) sea de H; si ponemos x^-1y=z obtenemos y=zx y decir que R{x,y} es verdadera significa que z es de H. Así pues, F_x es el conjunto de los elementos de G de la forma xz con z perteneciente a H. Por esta razón se utiliza, en lugar de F_x, la notación

xH

y se dice que el conjunto xH es una clase a la derecha módulo H. El conjunto de las clases xH módulo H, i.e., el cociente del conjunto G respecto a la relación de equivalencia (x^-1y) de H, se denota por G/H.

Sean G un grupo y H un subgrupo de G; entonces la relación

R{x,y} : (x^-1 y) perteneciente a H

es una relación de equivalencia sobre el conjunto G en el sentido usual. Es evidente, ante todo, que la relación R{x,x} es siempre verdadera, puesto que significa que H contiene el elemento neutro de G; para demostrar por otra parte, que R{x,y} implica R{y,x}, observemos que por definición de subgrupo, la relación

(x^-1y) perteneciente a H implica que (x^-1y)^-1 pertenece a H

por último, de las relaciones R{x,y} y R{y,z} resulta, por definición de subgrupo, la relación

(x^-1y)(y^-1z) perteneciente a H

y esto no es más que la relación R{x,z}.

#4 No tienes que estar de acuerdo, es así por definición.

Sea K un anillo; se llama módulo a la izquierda sobre el anillo K o también K-módulo a la izquierda, al objeto formado por un conjunto M, una ley de composición sobre M tal que (x,y) va a parar a x+y; y una aplicación del conjunto KxM en M que envía (a,x) a ax.
Estis datos deben cumplir las dos condiciones siguientes:

(M1) El conjunto M dotado de la ley de composición anterior es un grupo conmutativo.

(M2) Se cumplen las relaciones
a(bx)=(ab)x
1x=x
(a+b)x=ax+bx
a(x+y)=ax+ay

para cualesquiera que sean x,y de M y a,b de K.